Problema de Monty Hall

montyheadEl problema de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad creado por la mujer con el coeficiente intelectual más alto del mundo. El problema se hizo famoso por el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato). El nombre del problema tiene su origen en el nombre del presentador del concurso: Monty Hall.

La premisa

El concursante en el concurso televisivo debe elegir una puerta de entre tres (todas cerradas), el premio consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la elegida. Se sabe con certeza que tras una de ellas se oculta un automóvil, y tras las otras dos hay sendas cabras. Una vez que el concursante haya elegido una puerta y le comunique al público y al presentador su elección, Monty (el presentador) abrirá una de las otras puertas y mostrará que detrás hay una cabra. En este momento se le da la opción al concursante de cambiar, si lo desea, de puerta (tiene dos opciones) ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el plantemiento del problema, por lo que también se puede considerar como una pregunta con trampa.

La premisa original

A continuación se expone el enunciado más famoso del problema, extraído de una carta de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore, y Nydick).

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: “¿No prefieres escoger la nº2?”. ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

Éste es una nueva formulación del problema proporcionado por Steve Selvin en una carta a American Statistician (febrero, 1975). Como se ha dicho anteriormente, el problema está inspirado en el concurso televisivo, a pesar de que los concursantes de Let’s Make a Deal no tenían opción de cambiar su elección. Como Monty Hall contestó a Selvin [1],

Y si alguna vez vas a mi programa, las reglas también se te aplicarán — no se permite cambiar de caja después de realizar tu elección.

En la carta posterior de Selvin a American Statistician (Agosto, 1975) aparece la que parece ser la primera mención del término “problema de Monty Hall”.

Un problema análogo denominado “problema de los tres prisioneros”, apareció en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner hace el proceso de elección explícito, evitando las suposiciones de la versión original.

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La premisa completa

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

  • Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
  • Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado y el presentador conoce lo que hay detrás de cada puerta.
  • Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección inicial y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta oportuna es: ¿debe hacerlo o no?

RESPUESTA Y CONCLUSIÓN

En wikipedia nadie entiende lo que dijo Marilyn vos Savant:

Y si alguna vez vas a mi programa, las reglas también se te aplicarán — no se permite cambiar de caja después de realizar tu elección.

Muchos la criticaron (desde 1975-hasta hoy) por esa respuesta por carecer de sentido y argumento, pero voy a demostrarles que es la respuesta más la inteligente del mundo. Les explicaré porque…

El paso inicial del concurso (mostrar la cabra en una puerta y preguntar si quieres cambiarla) no tiene ningún sentido porque la persona estará en frente de 2 puertas.

El presentador siempre abrirá una puerta “perdedora” con una cabra, es decir no cuenta la elegida por él.

Nunca eran 3 puertas, en realidad son 2 puertas, porque el presentador siempre mostrara una perdedora.

¿Qué sentido tiene entonces el hacer eso?

Ninguno en especial, solo este:

“reafirmar tu decisión o cambiarla”

Nunca fueron 2 oportunidades sino una misma pregunta: “eliges o cambias” el hecho de elegir “una caja al principio” no se cuenta como una elección, porque la verdadera elección esta cuando (el concursante) decide “elegir quedarse con la primera” o elegir “cambiar a la segunda”. Allí es la verdadera y única elección.

Las probabilidades no aumentan en ningún momento porque la elección es la misma, no era 1/3 siempre fue 1/2. Es en ese preciso momento, cuando el concurso se basa en 2 cajas y no en 3.

Todo es principio es algo psicológico que puede motivar un cambio de decisión o reafirmación de la misma, pero la acción del presentador en realidad no genera ni agrega posibilidades de ganar o perder al concurso.

Porque al momento de el presentador decir: ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

¿Qué está haciendo? ¿Dándole oportunidad?

En ningún momento. Solo le habilita a elegir 2 puertas.

Por eso: “no se permite cambiar de caja (o puerta) después de realizar tu elección” porque nunca elegiste una.

En el preciso momento que él (presentador) dice: ¿Es mejor para ti cambiar tu elección?

En realidad le está diciendo: ¿Cuál de las 2 puertas quieres?

Por lo tanto: “no se le permitió cambiar de caja (o puerta)” porque la elección es: “una sola” al fin y al cabo.

Actualización 09-02-2012

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Acerca de Gabriel Niño

Escribo sobre temas que llamen mi atención no siguiendo ninguna regla en particular, gracias por visitarme.
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12 respuestas a Problema de Monty Hall

  1. Ignatius dijo:

    No estoy muy de acuerdo, En realidad tienes 2/3 de escoger una cabra, frente a 1/3 de coche.

    Cuando se desvela la puerta con la cabra, el planteamiento se altera; si has escogido cabra inicialmente y cambias, ganas. Si has escogido coche y cambias, pierdes.

    Como tienes 1/3 de haber escogido cabara frente a 1/3 de coche, es más probable que ganes si cambias tu elección inicial.

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    • Ignatius dijo:

      Perdon es un typo. En realidad es

      “Como tienes 2/3 de haber escogido cabara frente a 1/3 de coche, es más probable que ganes si cambias tu elección inicial”

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      • Francesc dijo:

        Un poco viejo, pero cambiar la elección da completamente igual. Lee el final de la explicación de este blog y te darás cuenta. En verdad la primera elección es una tontería. Escojas lo que escojas en la primera se abrirá una puerta sin coche.

        ENTONCES viene la verdadera elección, la única que a efectos prácticos tendrá sentido. Ahora te han quitado del medio una de las puertas que no tiene coche, sin importar tu decisión previa.

        Ahora, sin importar lo que hayas elegido antes, tendrás SIEMPRE una decisión entre 2 puertas: una con coche y una sin. ESTA es la única elección que tendrá algún efecto sobre el resultado y es solamente entre una puerta con coche (1/2) y una puerta sin coche (1/2)

        Es decir: Desde un principio tus probabilidades de ganar eran de 1/2.

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  2. Ignatius dijo:

    No estoy muy de acuerdo, En realidad tienes 2/3 de escoger una cabra, frente a 1/3 de coche.

    Cuando se desvela la puerta con la cabra, el planteamiento se altera; si has escogido cabra inicialmente y cambias, ganas. Si has escogido coche y cambias, pierdes.

    Como tienes 2/3 de haber escogido cabara frente a 1/3 de coche, es más probable que ganes si cambias tu elección inicial.

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  3. Octavio dijo:

    Mira, al explicar lo que dijo Marilyn vos Savant me agrada viéndolo como una corrección lingüística, porque al suponer la elección estás hablando de algo que dejas como fijo. Eliges la puerta y punto. Creo que sería más correcto utilizar el verbo “señalar” debido a que no es tan estático.
    Pero vámonos a lo que es la probabilidad para explicarlo:
    Si para el principio seleccionamos “x” puerta, nuestras oportunidades de señalar la puerta con el auto son de 1/3 vs 2/3, ya que no sabemos cuál será la puerta con la cabra que elija Monty Hall.
    Una vez abierta la puerta con la cabra, esa puerta se vuelve a nuestro favor, volviendo al contexto original de 1/3 vs 2/3. La puerta abierta YA la conocemos, cosa que desconocíamos al principio, por tanto se vuelve a nuestro favor.
    Ahora yo te planteo lo siguiente:
    Imagina que tú eres Monty Hall, el presentador. El jugador señala “x” puerta, y tu sabes lo que hay detrás de ella. Ahora abrirás una de las puertas que tiene una cabra. Por muchos juegos psicológicos que hagas para confundir al jugador, tú no sabes si cambiara de puerta, y como tú eres el que sabe qué hay detrás de cada puerta, tienes una probabilidad de 1/2 vs 1/2, ya que le has quitado de encima una puerta al jugador.

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  4. peter dijo:

    intentare explicarlo con un ejemplo, si en vez de 3 puertas hay 100 puertas con 99 cabras y 1 coche y os dan a elegir una, lo mas seguro es que elijas una cabra, despues eliminan a 98 cabras y queda tu elección y otra puerta.. pues con 3 puertas no es tan descarado pero si que tienes mas posivilidad,

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  5. sylar dijo:

    Creo que supone una diferencia importante el hecho de que tú al elegir una opción estás limitando las opciones que tiene el entrevistador, ya que si eliges una cabra el entrevistador está obligado a dejar el coche en el concurso!!

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    • Hernan dijo:

      Es un problema hermoso para pensar. Creo que no es correcto reducirlo a que siempre fueron dos puertas. Si siempre fueran dos puertas la probabilidad seria 50 / 50 y solo hay que jugar el juego 20 o 30 veces, primero siempre cambiando y luego sin cambiar, para convencerse de que es mejor cambiar. O sea que algo se modifica cuando abren las puertas con cabras. Se me ocurre que lo que se modifica es la “información”. Pensando en (como dijo Peter) 100 puertas y solo un auto, cuando elegís la primera vez no saben nada, sin embargo, la segunda vez sabes exactamente donde están 98 de las 99 cabras, y si eso lo conocieras de antemano cambia completamente el juego. De la misma forma para con solo 3 puertas, si de antemano te dicen que en la puerta 2 hay una cabra, nunca la elegirías. En Física ocurren cosas extrañas como esa todo el tiempo, busquen y lean un poco sobre el “experimento de doble ranura”, ahí también el hecho de tener “información” sobre lo que ocurre, cambia completamente el resultado del experimento.

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  6. Gerard dijo:

    Absolutamente en desacuerdo.

    La primera elección sí que es una elección real, ya que influye en la posterior acción del presentador, que abrirá una u otra puerta en función de tu elección inicial.

    Sabiendo las reglas del juego, es decir, que eligirás una puerta, que luego el presentador abrirá una con cabra y que tú tendrás la opción de cambiar, puede aclararte pensar en todo ello a priori. Es decir, sabes qué sucederá todo eso, y por lo tanto la primera elección se puede entender como elegir una de las puertas frente a las otras dos. Evidentemente tienes 1/3 de probabilidades de acertar el coche frente a 2/3 de que esté entre las otras 2. Por tanto tu decisión de cambiar cuando se te ofrezca será quedarte con la única puerta que represente ese 2/3, porque la otra ya habrá sido descartada por el presentador.

    Espero haberme explicado, pero por si no lo he logrado con éxito, te sugiero que compruebes tú mismo todo esto con un simulador del juego http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html#00

    Te propongo que juegues, pongamos por caso, 100 partidas con la estrategia de cambiar de puerta, y 100 partidas con la estrategia de conservar la elección original, y veas las estadísticas resultantes que te da la misma aplicación.

    Un saludo!

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  7. Florence dijo:

    Obviamente… hay que cambiar para aumentar tus posibilidades al doble.

    Basta con hacer un ejercicio: juega al juego 99 veces… y verás que sin cambiar vas a ganar unas 33 veces… y cambiando vas a ganar unas 66 veces aproximadamente… o sea, exactamente el doble.

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  8. Ronald Becerra dijo:

    Para entenderlo mejor, imaginemos un juego similar. Hay tres tarjetas para escoger, y se sabe sus contenidos respectivos son los siguientes:

    ————————————————————————————————-
    …………………………… TARJETA 1
    Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
    ……. Cabra ………………………………………….. Carro
    ————————————————————————————————-
    …………………………… TARJETA 2
    Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
    ……. Carro ………………………………………….. Cabra
    ————————————————————————————————-
    …………………………… TARJETA 3
    Tu puerta tiene …………………………………. La otra tiene
    ……. Cabra ………………………………………….. Carro
    ————————————————————————————————-

    Es más probable escoger una tarjeta que diga “Tu puerta tiene Cabra”, porque hay más de ese tipo.

    Una vez con la tarjeta en la mano, sin verla, uno podría apostar a que el carro está en la parte de “Tu puerta” o en “La otra”, pero eso no significa que las dos posibles elecciones tengan la misma probabilidad. El hecho de que estés apostando luego de tener la tarjeta en la mano no niega el hecho de que esa tarjeta tiene mayor probabilidad de decir “Tu puerta tiene Cabra”.

    Un error común es pensar que todas las posibles elecciones distribuyen su probabilidad equitativamente. Eso es porque nos enseñan la fórmula:

    Número de casos favorables / Número de casos posibles

    Pero ella sólo se puede aplicar si cada una de las cosas que consideramos como “caso” tiene el mismo peso probabilístico. Por ejemplo, suponemos que la probabilidad de cada posible resultado de un dado es 1/6, porque dicho dado debería estar construido simétricamente. Pero si lanzáramos un dado no balanceado, algún resultado tendería a repetirse más que otro, por lo que la probabilidad no sería 1/6 para cada uno.

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  9. EGPRC dijo:

    No lo has entendido.

    Es verdad que siempre quedan dos puertas: la tuya y la del presentador, pero eso no significa que sea igual de probable que el carro esté en una que en la otra. La diferencia se debe a que el contenido de las mismas es establecido según tu elección inicial, pero como son más veces las que estableces una cabra en tu puerta, entonces hay más veces en las que la puerta del presentador tiene el carro. Si decides mantener tu elección inicial, estás apostando a que acertaste en el primer intento (1 caso de 3); si decides cambiarla, estás apostando por que al principio fallaste (2 casos de 3).

    No lo confundas con una selección aleatoria entre las dos puertas. Si se decidiera hacer aleatoriamente, lo cual podría pasar por ejemplo si quien participara en la segunda ronda fuera otra persona que no fue testigo de la situación anterior, entonces la probabilidad de ganar sí sería de 50%, pero eso se debe a que de antemano no se sabe cuál puerta podría escoger. No tiene manera de distinguirlas; es igual de probable que escoja la original que la del presentador.

    Y por si siguen las dudas, recordar que la probabilidad de un evento es la proporción en promedio que ocurre dicho evento cuando algún experimento se repite varias veces. Por ejemplo, una moneda tiene 50% de probabilidad de salir cara o cruz al tirarla, lo cual significa que si se lanzara 100 veces, alrededor de 50 veces debería salir cada uno de los resultados. Puede variar un poco, pero nunca esperaríamos cosas como 1 cara 99 cruces. Entonces, si en verdad hubiese probabilidad 1/3 de acertar al principio, pero una vez que se abriera la otra puerta aumentara a 1/2 manteniendo la misma elección, esa nueva ventaja tendría que deberse a que algunos casos en donde se ganó habrían resultado en perder si esa puerta no se hubiese abierto. ¿Puede alguien mencionar un caso de ese tipo? No, porque no existe.

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